求$yz$面上二次曲线

\begin{equation}

  \begin{cases}

    \frac{y^2}{a^2}=2z\\

x=0\\

  \end{cases}

\end{equation}

绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.

解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点

$(x_0,y_0,z_0)$,使得

\begin{equation}

  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0

\end{equation}

且

\begin{equation}

  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2

\end{equation}

且

\begin{equation}

  \begin{cases}

    \frac{y_0^2}{a^2}=2z_{0}\\

x_0=0\\

z_0\geq 0\\

  \end{cases}

\end{equation}

可得

\begin{equation}

x^2+y^2=2za^2

\end{equation}